正交信号：复数，并不复杂！
一份讲稿，图文并茂，语言生动诙谐，通俗易懂，从介绍复数的表示，到欧拉公式的数学模型，引出为什么用复数表示实信号，通读全文，让一个初学者彻底理解在数字通信系统中为什么使用正交信号，正交信号又是如何节省带宽的，绝对实用！!
有关复信号，不清楚的可以学习一下！
信号是信息的载体，实际的信号总是实的，但在实际应用中采用复信号却可以带来很大好处，由于实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，将实信号的负频谱部分去掉，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，所对应的时域信号应为复信号。
通信一般具有载波，早期通信的载波为正弦波，通过调制传输信息，发射和接收的都是实信号，接收后要把调制信号从载波里提取出来，通常的做法是将载频变频到零（通称为零中频）。我们知道，通常的变频相当于将载频下移，早期的调幅接收机将下移到较低的中频，其目的是方便选择信号和放大，然后通过幅度检波（调幅信号的载波只有幅度受调制）得到所需的低频信号，现代通信信号有各种调制方式，为便于处理，需要将频带内的信号的谱结构原封不动的下移到零中频(统称为基带信号)。很显然，将接收到的实信号直接变到零中频是不行的，因为实信号存在共轭对称的双边谱，随着载频的下移，正、负相互接近，到中频小于信号频带一半时，两部分谱就会发生混叠，当中频为零时混叠最严重，使原信号无法恢复，这时应在变频中注意避免正、负谱分量的混叠，正确的获取基带信号。
实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量。复信号也一样，必须用实部和虚部两路信号来表示它，两路信号传输会带来麻烦，实际信号的传输总是用实信号，而在信号处理中则用复信号。《通信信号处理》张贤达 国防工业出版社
对于虚数的难于理解，一定程度上是由于难以想像它究竟是个什么东西，就像4维以上的空间，难以在脑子里建立其形象的影像一样。对于j，这个-1的平方根，容易产生一种直觉的排斥，除了掌握能够解出数学题目的运算规则以外，一般人都不会去琢磨它有没有实际意义，有什么实际意义。在“达芬奇的密码”里，Langdon关于科学家对j的信仰以及教徒对宗教的信仰的类比，是对j之虚无缥缈和其重要性的绝妙诠释。 但是，对于一个搞通信或是信号处理的人来说，由于quadrature signal 的引入，j被赋予了确确实实的物理含义。
下面说说我的一知半解。
从数学上说，虚数真正确立其地位是在十八世纪欧拉公式以及高斯复平面概念建立起来之后。欧拉公式告诉我们实数的正弦余弦与任意一个复数的关系；高斯复平面则给出了形象表示复数的方法，并暗示了实部与虚部的正交性。
对于一个时域复数信号，实部和虚部分别代表了正交的信息。就像QPSK的modulating signal，这一点不难理解。 另一个时域的重要性质是两个complex exponential 的和，是一个实数余弦。
在考虑复频域的概念之前，先回忆一下傅利叶变换的物理意义：一个任意信号可以分解成谐波相加的形式。对于一个实数周期信号，可以直观的将其分解成多个不同相位的余弦谐波。但是，在傅利叶变换中，基本信号是complex exponential，也就是说，频域信号是在复频域上表现的。对于实数信号，复频域上的共轭对称，保证了所有基本信号的虚部抵消；当然，傅利叶变换是适用于所有复数信号的。
对于复频域，一个频率上的模的平方，表示这个频率分量能量的大小；相位，表示时域上初始相位；正负频率分别表示，在时域复平面内，向两个逆顺时针不同方向转动rotating phasor 所展现的频率。
复数信号处理的好处有：由于对相位的确定，使coherent detection 成为可能；对于数字通信，在基带处理带通信号，可以是有效带宽减少一半，进而对于AD 的采样率要求，FFT的处理能力等都有改善，比如在OFDM系统中transmitter中在基带完成的IFFT block等。 通过一个简单的QPSK系统，可以对以上理论有更深刻的了解。
解析信号的实部和虚部是正交的，是希尔伯特变换对，实部就是原信号或者说是实际存在的信号。由此我们可以利用希尔伯特变换得到解析信号。在雷达信号中，对于中频信号需要变换成零中频的复信号，称为视频信号（不一定解析，但是实部和虚部是正交的），有正交变换法，希尔伯特变换法，多相滤波法，插值法等多种方法，可以根据具体要求选取适当的方法。这些方法在雷达原理、软件无线电、通信理论等书籍和文献中都能找到很多。用复信号表示信号，构造解析信号减少一半频带是一个优点；用来表示实信号时，运算简便也是一个很重要的优点。
对于窄带信号s(t)=a(t)cos(wt+fai(t))，正交形式为s(t)=si(t)cos(wt)-sq(t)sin(wt)，式中si(t)=a(t)cos(fai(t))，sq(t)=a(t)sin(fai(t)),si(t)称为基带同相分量，sq(t)称为基带正交分量。指数形式和解析信号形式一样的条件是：wt>=wm，式中wm为信号si(t)=a(t)cos(fai(t))的最高频率。满足wt>=wm时信号s(t)的指数形式和解析信号形式都是a(t)exp(j*(wt+fai(t)))。不过在雷达信号中，相干视频信号一般都不是解析信号。
I /Q两路信号仍然满足hilbert 的关系，实际中l两路信号满足hilbert变换知识理想的情况，而我们在工程中是很难实现的，因此就采用了I,Q两路的方式来做就是说正交检波的话，得到I、Q两路信号，刚好 I路就是实部，Q路就是虚部。
在产生雷达信号时，得到两倍的带宽可以降低采样率的，这样就降低了对A/D的要求。
正交检波的接收机把信号的实部虚部都得到，这样就相当于把整个信号得到了，平方求模得幅度，相除反正切求相位，就是这样得。
任何信号包括雷达信号实际上都是实信号，复信号是为了分析复解析信号而提出的，也为引入I,Q双通道的概念，因为在雷达系统中，信号的产生通常采用正交调制的方式产生，这可以获得一般调制的2倍带宽。
来源：bbs.c114.net 感谢原作者
注：其实这来自一篇外文文献，有时间翻译一下。哈哈
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